Будем устанавливать TeamSpeak 3 Client в Linux на примере Debian 11(Bullseye) / Debian 12(Bookworm) с графической средой Xfce.
Для начала скачиваем TeamSpeak 3 с официального сайта, последняя версия на момент статьи (TeamSpeak 3 Client 64-bit 3.5.6).
В терминале разрешаем исполнение скаченного файла (TeamSpeak3-Client-linux_amd64-3.5.6.run) и запускаем.

tommy@debian:~/Downloads$ chmod +x TeamSpeak3-Client-linux_amd64-3.5.6.run
tommy@debian:~/Downloads$ ./TeamSpeak3-Client-linux_amd64-3.5.6.run

Далее прочитываем лицензионное соглашения нажав q, далее нажимаем Y что бы согласится и продолжить установку.

Welcome to the TeamSpeak 3 Client for Linux on amd64 installer

In order to install this software you are required to accept the license
agreement, please press return to view the license.

You can scroll with the arrow keys and quit the viewer by pressing 'q'.
[RETURN]
 
Please type y to accept, n otherwise: y
Creating directory TeamSpeak3-Client-linux_amd64
Verifying archive integrity... All good.
Uncompressing TeamSpeak 3 Client for Linux on amd64  100% 

TeamSpeak 3 был установлен в каталог TeamSpeak3-Client-linux_amd64 в каталоге откуда мы запускали установщик.
Переносим в удобную папку, я выбрал для этого /opt/TeamSpeak3-Client-linux_amd64/ (/opt — как раз предназначен для программ которые не ставятся в систему и работают автономно). Можно оставить в домашнем каталоге.
Для этого заходим под root используя su, или выполняем команды от sudo

tommy@debian:~/Downloads$ su
root@debian:/home/tommy/Downloads# mv TeamSpeak3-Client-linux_amd64 /opt
root@debian:/home/tommy/Downloads# 

Теперь надо добавить в меню ярлык запуска. В Debian ярлыки находится в папке /usr/share/applications
Создаем файл teamspeak3-client.desktop

root@debian:/# cd /usr/share/applications
root@debian:/usr/share/applications# nano teamspeak3-client.desktop

Файл содержит следующие строки:

[Desktop Entry]
Name=Teamspeak 3 Client
GenericName=Teamspeak
Type=Application
Exec=/opt/TeamSpeak3-Client-linux_amd64/ts3client_runscript.sh
Terminal=false
Icon=/opt/TeamSpeak3-Client-linux_amd64/styles/default/logo-128x128.png
Categories=Network;
StartupWMClass=TeamSpeak 3
StartupNotify=true

Открываем меню — раздел 'Интернет', там видим ярлык TeamSpeak 3 Client, запускаем.
У нас запустился TeamSpeak 3